Обозначим через V объём слитка, за V_з примем объём содержащегося в нём золота. Тогда объём серебра будет V-V_з. Общая масса слитка будет m=ρ_зV_з+ρ_с(V-V_з). Если пренебречь выталкивающей силой в воздухе, то вес слитка в воздухе будет равен силе тяжести, действующей на слиток:

P₀=mg = (ρ_зV_з+ρ_с(V-V_з))g

При погружении тела в жидкость тело вытеснит объём жидкости, равный объёму тела. Тогда вес вытесненной воды будет P_в=ρ_вVg

 Тело, погружённое в жидкость, теряет в весе столько же, сколько весит вытесненная им жидкость:

P₁ = P₀-P_в = (ρ_зV_з+ρ_с(V-V_з))g - ρ_вVg

Решаем систему из двух уравнений: 

P₀= (ρ_зV_з+ρ_с(V-V_з))g

P₁ = (ρ_зV_з+ρ_с(V-V_з))g - ρ_вVg

Вычитаем из первого уравнения второе и получаем:

P₀-P₁ = ρ_вVg

V = (P₀-P₁) / ρ_вg  - подставляем в первое уравнение и находим V_з

V_з = ((P₀-P₁)ρ_c-P₀ρ_в) / ((ρ_c-ρ_з)ρ_вg) 

Объём серебра в слитке составит:

V_c = V-V_з = ((P₀-P₁)ρ_з-P₀ρ_в) / ((ρ_з-ρ_с)ρ_вg)

Если надо найти массы золота и серебра в слитке, нужно плотности золота и серебра умножить на их объёмы соответственно.